Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
по специальности 01.01.06 – ''Математическая логика, алгебра и теория чисел''
Кондратёнок Никита Васильевич
по специальности 01.01.06 – ''Математическая логика, алгебра и теория чисел''
Кондратёнок Никита Васильевич
Научный руководитель: д.ф.-м.н. Васьковский Максим Михайлович
-
Перечень сокращений и (или) условных обозначений
-
Введение
-
Общая характеристика работы
-
Глава 1. Обзор литературы по теме исследования
- Выводы по главе 1
-
Глава 2. Тестирование идеалов на простоту в дедекиндовых кольцах
- Предварительные сведения
- Определения идеала, простого идеала, максимального идеала, дедекиндова кольца
- Функция Эйлера в дедекиндовом кольце и ее свойства
- Теорема Копперсмита
- Определения нормы, дробной и целой частей, цепочки делений
- Примеры нормы, пример кольца, где нет цепочки делений с выбором минимального по норме остатка
- Определение регулярной тройки и формулировка теоремы Кронекера-Валена
- Способы представления идеалов
- Сложность арифметических операций над идеалами
- Аналог критерия Эйлера, оценки вероятности успеха, детерминированный вариант алгоритма Соловея-Штрассена
- Аналог критерия Миллера, оценки вероятности успеха, детерминированный вариант алгоритма Миллера-Рабина
- Вычислительная сложность алгоритмов
- Выводы по главе 2
- Предварительные сведения
-
Глава 3. Теорема Кронекера-Валена в факториальных кольцах
- Теорема Кронекера-Валена в специальном классе факториальных колец
- Формулировка и доказательство теоремы
- Метод проверки принадлежности кольца классу T
- Определение класса S
- Доказательство, что S подмножество T
- Метод проверки принадлежности классу S
- Примеры из класса S, из T и не из S, не из T
- Метод проверки принадлежности классу T
- Теорема Кронекера-Валена в кольцах целых алгебраических элементов числового поля
- Определения
- Алгоритм вычисления наименьшего по норме остатка
- Вычислительная сложность алгоритма
- Метод доказательства невыполнимости теоремы Кронекера-Валена
- Теорема, что для действительных квадратичных норменно-евклидовых колец теорема Кронекера-Валена не выполнена
- Теорема для всех квадратичных норменно-евклидовых колец.
- Теорема Ламе в факториальных кольцах
- Выводы по главе 3
- Теорема Кронекера-Валена в специальном классе факториальных колец
-
Глава 4. Аналог RSA-криптосистемы в дедекиндовых кольцах
- Анализ аналога RSA-криптосистемы
- Формулировка аналога RSA-криптосистемы
- Теорема, что если d известно, то N можно разложить с вероятностью не менее 1/2 за лог время. (кажется только для факториальных, так как надо искать НОД(b-1, N))
- Теорема Винера, что если d маленькое, то его можно вычислить. (для дедекиндовых колец)
- Метод повторного шифрования. (для дедекиндовых колец)
- Теорема, что если у нормы p и q одинаковая битовая длина, то их эти нормы можно вычислить. (для дедекиндовых)
- Теорема, что нельзя иметь одинаковые RSA-модули. (для евклидовых колец)
- Пример работы криптосистемы в координатных кольцах
- Факторизация идеалов
- Привести результаты Kofi_Intrinsic factorization of ideals in dedekind domains, где используется вычисление радикала
- Использование теоремы Дедекинда для сведения задачи факторизации к целым числам
- Выводы по главе 4
- Анализ аналога RSA-криптосистемы
- Заключение
- Библиографический список
- Приложения
- Исходный код программы нахождения контрпримеров к теореме Кронекера-Валена
- Документы, подтверждающие практическое применение результатов диссертации
Должно быть около 80 страниц в диссертации. Около 80-100 источников в списке литературы. Весь текст лучше написать заново, а не брать части из диплома или магистерской диссертации.
Приоритет на аккуратность доказательств и формулировок. Важно чтобы не было многозначности.
Прошлая специальность: 05.13.19 – ''Методы и системы защиты информации, информационная безопасность''.
additional- дополнительные файлыautoref- автореферат диссертацииsettings- заголовочные файлыsources- исходный код диссертации